Un percorso interattivo sulle funzioni
Dalla definizione di funzione fino alla funzione inversa, passando per le proprietà fondamentali (iniettività, suriettività, biiettività) e per la composizione. Ogni sotto-sezione è organizzata in quattro momenti: Teoria essenziale in schede richiudibili, una Simulazione grafica da esplorare, la palestra «Prova tu» con esercizi guidati e interattivi, e un Quiz di sezione di 10 domande con correzione e spiegazione immediate.
Come usare l’app
- Leggi la teoria. Apri le schede una alla volta: definizioni, formule ed esempi svolti.
- Esplora la simulazione. Muovi i cursori, scegli i casi e trascina le rette di test: il grafico e i risultati si aggiornano in tempo reale.
- Mettiti alla prova. Nella scheda «Prova tu» risolvi esercizi guidati e classifica nuovi esempi generati di volta in volta.
- Verifica con il quiz. 10 domande per sezione, con correzione e spiegazione immediate, e un quiz riepilogativo finale di 20 domande.
Suggerimento: parti dalla «Nota storica» per inquadrare l’argomento, poi affronta le sezioni nell’ordine proposto.
Nota storica: la nascita del concetto di funzione
Una delle idee più potenti della matematica non è nata già pronta: si è formata lentamente, nell’arco di molti secoli, prima come intuizione geometrica e fisica, poi come definizione rigorosa.
Dalle origini all’idea di «quantità variabile»
Già nell’antichità babilonese ed ellenistica si usavano tavole che associavano a un valore (un angolo, un giorno) un altro valore (una corda, una posizione di un pianeta): erano funzioni «tabulate» senza che esistesse ancora la parola.
Nel Trecento Nicola Oresme rappresentò graficamente come una grandezza («latitudo») vari al variare di un’altra («longitudo»), anticipando l’idea di grafico. Con la geometria analitica di Cartesio (René Descartes) e Fermat (1637) curve ed equazioni diventano due facce della stessa cosa: una relazione tra $x$ e $y$ si può disegnare nel piano.
Leibniz, i Bernoulli ed Eulero: nasce la parola «funzione»
Il termine latino functio è introdotto da Gottfried Leibniz intorno al 1673 per indicare grandezze geometriche che «dipendono» da un punto su una curva. Johann Bernoulli (1718) dà una prima definizione esplicita: una funzione di una variabile è «una quantità composta in qualunque modo da quella variabile e da costanti».
È Leonhard Euler a diffondere, nel 1748, la notazione moderna $f(x)$ e a pensare la funzione come un’espressione analitica (una formula). Questa visione, utilissima in fisica, lasciava però fuori molte corrispondenze perfettamente sensate ma non esprimibili con una singola formula.
Dirichlet e la definizione moderna
Lo studio delle serie e dei fenomeni discontinui (Fourier) mostrò che la definizione «funzione = formula» era troppo stretta. Nel 1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet propose l’idea che usiamo ancora oggi: una funzione da $A$ a $B$ è una legge di corrispondenza qualsiasi che a ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$, senza bisogno che esista una formula.
Il celebre esempio è la «funzione di Dirichlet», che vale $1$ sui razionali e $0$ sugli irrazionali: nessuna formula elementare, eppure è una funzione a tutti gli effetti.
Il linguaggio degli insiemi: Bourbaki
Con la teoria degli insiemi (Cantor) e la sua sistemazione del Novecento (il gruppo Bourbaki), la funzione viene definita in modo puramente insiemistico come un particolare insieme di coppie ordinate (un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times B$) in cui ogni primo elemento compare una volta sola.
È in questo quadro che diventano centrali le proprietà che studierai in questa app — iniettività, suriettività, biiettività — e le operazioni di composizione e di inversione, oggi strumenti di base in tutta la matematica e nelle sue applicazioni.
Linea del tempo
- ~1350 Oresme rappresenta graficamente grandezze variabili.
- 1637 Descartes e Fermat: geometria analitica, curve ed equazioni.
- ~1673 Leibniz introduce il termine functio.
- 1718 Johann Bernoulli: prima definizione esplicita di funzione.
- 1748 Euler diffonde la notazione $f(x)$.
- 1837 Dirichlet: la funzione come corrispondenza qualsiasi.
- XX sec. Cantor e Bourbaki: definizione insiemistica con le coppie ordinate.
Che cos’è una funzione
Dominio, codominio e immagine; il grafico nel piano cartesiano; il test della retta verticale per distinguere una funzione da una relazione qualsiasi.
Definizione di funzione
Dati due insiemi $A$ e $B$, una funzione $f$ da $A$ a $B$ è una legge che a ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$. Si scrive:
- $A$ è il dominio: l’insieme di partenza, dove la funzione è definita;
- $B$ è il codominio: l’insieme di arrivo;
- $x$ è la variabile indipendente, $y=f(x)$ la variabile dipendente;
- $f(x)$ è l’immagine di $x$; $x$ è una controimmagine di $f(x)$.
Immagine di una funzione
L’immagine (o insieme immagine) $\operatorname{Im}(f)$ è il sottoinsieme del codominio formato dai valori effettivamente «raggiunti»:
Attenzione a non confondere codominio (l’insieme di arrivo che scegliamo) e immagine (ciò che la funzione produce davvero). Può essere $\operatorname{Im}(f)\subsetneq B$.
Il grafico di una funzione
Per una funzione reale di variabile reale, il grafico è l’insieme dei punti del piano cartesiano le cui coordinate sono $\big(x,\,f(x)\big)$:
A ogni $x$ del dominio corrisponde un solo punto del grafico con quella ascissa.
Il test della retta verticale
Una curva nel piano è il grafico di una funzione (di $x$) se e solo se ogni retta verticale $x=k$ la incontra al più in un punto.
- uno o nessun punto di intersezione per ogni verticale → è una funzione;
- esiste una verticale che la taglia in due o più punti → non è una funzione (a quell’$x$ corrisponderebbero più valori).
Esempio svolto
Sia $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c,d\}$ data da $f(1)=b,\ f(2)=a,\ f(3)=b$.
- Ogni elemento del dominio ha un’immagine: è una funzione (le due condizioni sono rispettate).
- Dominio $=\{1,2,3\}$, codominio $=\{a,b,c,d\}$.
- Immagine $=\{a,b\}$: i valori $c$ e $d$ non sono raggiunti.
- Controimmagini di $b$: sia $1$ sia $3$ (due controimmagini).
Test della retta verticale
Scegli una curva e trascina il cursore per muovere la retta verticale $x=k$: conta i punti di intersezione. Se qualche verticale ne incontra più di uno, la curva non è il grafico di una funzione.
Il verdetto considera tutte le rette verticali, non solo quella mostrata.
Diagramma a frecce
Rappresentazione «a insiemi»: dal dominio (a sinistra) partono frecce verso il codominio (a destra). È una funzione solo se da ogni elemento di sinistra parte esattamente una freccia.
Prova tu — È una funzione?
Esamina l’esempio (diagramma a frecce, grafico o insieme di punti) e decidi se definisce una funzione. Ricevi subito correzione e spiegazione.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · Dominio naturale di $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$
- La frazione esiste se il denominatore non è nullo: $x-2\neq 0$.
- Quindi $x\neq 2$.
Esercizio 2 · Immagine di $f:\{-1,0,1,2\}\to\mathbb{Z},\ f(x)=x^2$
- Calcolo le immagini: $f(-1)=1,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(2)=4$.
- Raccolgo i valori ottenuti, senza ripetizioni.
Quiz di sezione — Che cos’è una funzione
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Funzioni iniettive
Elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Sul grafico: il test della retta orizzontale.
Definizione di funzione iniettiva
Una funzione $f:A\to B$ è iniettiva (o «uno-a-uno») se a elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte:
Equivalentemente (forma più comoda nelle verifiche), per contronominale:
Il test della retta orizzontale
Il grafico di $f$ rappresenta una funzione iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale $y=k$ incontra il grafico al più in un punto.
- ogni orizzontale taglia il grafico al più una volta → iniettiva;
- esiste un’orizzontale che lo taglia in due o più punti → non iniettiva (quei punti hanno la stessa immagine $k$).
Monotonia e iniettività
Una funzione strettamente monotòna (sempre crescente oppure sempre decrescente) è sempre iniettiva: se cresce (o decresce) senza mai tornare indietro, non può assumere due volte lo stesso valore.
Esempio svolto · verifica algebrica
Verifichiamo che $f(x)=3x-5$ è iniettiva usando la forma contronominale.
- Suppongo $f(x_1)=f(x_2)$: $3x_1-5=3x_2-5$.
- Sommo $5$: $3x_1=3x_2$.
- Divido per $3$: $x_1=x_2$.
- Da $f(x_1)=f(x_2)$ segue $x_1=x_2$: la funzione è iniettiva.
Test della retta orizzontale
Scegli una funzione e muovi la retta orizzontale $y=k$: se esiste un livello che la taglia in due o più punti, la funzione non è iniettiva.
Diagramma a frecce
È iniettiva se in nessun elemento del codominio arrivano due o più frecce.
Prova tu — È iniettiva?
Decidi se l’esempio proposto rappresenta una funzione iniettiva.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · $f(x)=x^2$ ristretta a $[0,+\infty)$
- Su tutto $\mathbb{R}$ non è iniettiva ($f(-2)=f(2)$).
- Su $[0,+\infty)$ è strettamente crescente: $x_1^2=x_2^2$ con $x_1,x_2\ge 0$ dà $x_1=x_2$.
Esercizio 2 · Verifica che $f(x)=\dfrac{1}{x}$ è iniettiva (su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$)
- Pongo $\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2}$.
- «Incrociando» i prodotti: $x_2=x_1$.
Quiz di sezione — Iniettività
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Funzioni suriettive
Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio: l’immagine coincide con il codominio.
Definizione di funzione suriettiva
Una funzione $f:A\to B$ è suriettiva (o «su $B$») se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:
In modo equivalente, l’immagine coincide con il codominio:
La suriettività dipende dal codominio
A differenza dell’iniettività, la suriettività dipende in modo essenziale da quale codominio abbiamo scelto. La stessa legge può essere suriettiva o no.
- $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2$ non è suriettiva: i valori negativi non sono raggiunti;
- $f:\mathbb{R}\to[0,+\infty),\ f(x)=x^2$ è suriettiva: il codominio è stato ristretto all’immagine.
Lettura sul grafico
Per $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: la funzione è suriettiva se ogni retta orizzontale $y=k$ (con $k$ nel codominio) incontra il grafico almeno una volta. L’immagine è l’insieme delle «quote» $k$ effettivamente toccate.
Esempio svolto
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ è suriettiva?
- Fisso un generico $y\in\mathbb{R}$ e cerco $x$ con $2x+1=y$.
- Risolvo: $x=\dfrac{y-1}{2}$, che esiste per ogni $y$ reale.
- Ho trovato una controimmagine per ogni $y$: la funzione è suriettiva.
Immagine e codominio
La banda azzurra sull’asse $y$ è l’immagine della funzione. Scegli il codominio e muovi la quota $y=k$: l’app controlla se quel valore ha una controimmagine. Suriettiva ⇔ l’immagine riempie tutto il codominio.
Diagramma a frecce
È suriettiva se in ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia.
Prova tu — È suriettiva?
Per i diagrammi a frecce il codominio è l’insieme di destra; per i grafici si intende $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^3$ è suriettiva?
- Fisso $y\in\mathbb{R}$ e cerco $x$ con $x^3=y$.
- Esiste sempre: $x=\sqrt[3]{y}$ (la radice cubica è definita per ogni reale).
Esercizio 2 · Rendi suriettiva $f(x)=x^2$
- Su $\mathbb{R}$ l’immagine è $[0,+\infty)$, quindi non è suriettiva su $\mathbb{R}$.
- Scelgo come codominio proprio l’immagine.
Quiz di sezione — Suriettività
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Funzioni biiettive
Iniettiva e suriettiva insieme: una corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio. È la condizione che permette di invertire una funzione.
Definizione di funzione biiettiva
Una funzione $f:A\to B$ è biiettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
In una funzione biiettiva ogni elemento del codominio è raggiunto da esattamente un elemento del dominio: si parla di corrispondenza biunivoca.
Le due proprietà, a confronto
| Proprietà | Richiede che ogni $y\in B$… | Frecce in arrivo su ogni $y$ |
|---|---|---|
| Iniettiva | abbia al più una controimmagine | 0 oppure 1 |
| Suriettiva | abbia almeno una controimmagine | ≥ 1 |
| Biiettiva | abbia esattamente una controimmagine | esattamente 1 |
Nel diagramma a frecce: biiettiva significa che le frecce accoppiano perfettamente gli elementi dei due insiemi, uno a uno. In particolare, se $A$ e $B$ sono finiti, una biiezione può esistere solo se hanno lo stesso numero di elementi.
Biiettività e invertibilità
Una funzione è invertibile (ammette funzione inversa) se e solo se è biiettiva. L’iniettività garantisce che «tornando indietro» da un valore si trovi un solo elemento; la suriettività garantisce che si possa partire da qualsiasi elemento del codominio.
Esempio svolto
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ è biiettiva?
- Iniettiva: $2x_1+1=2x_2+1\Rightarrow x_1=x_2$. Sì.
- Suriettiva: per ogni $y$, $x=\dfrac{y-1}{2}$ esiste. Sì.
- Essendo iniettiva e suriettiva, è biiettiva (quindi invertibile).
Iniettiva + suriettiva = biiettiva
Scegli funzione, dominio e codominio: l’app applica il test della retta orizzontale su tutto il codominio e indica le tre proprietà.
Diagramma a frecce
Biiettiva ⇔ ogni elemento di destra riceve esattamente una freccia.
Prova tu — Classifica la funzione
Per ogni esempio indica se è iniettiva, suriettiva, biiettiva o nessuna delle tre. Per i grafici si intende $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2$
- Non iniettiva: $f(-1)=f(1)$.
- Non suriettiva: i valori negativi non sono raggiunti.
- Non essendo né l’una né l’altra, non è biiettiva.
Esercizio 2 · Rendi biiettiva $f(x)=x^2$
- Restringo il dominio a $[0,+\infty)$: diventa iniettiva.
- Scelgo codominio $[0,+\infty)$ (l’immagine): diventa suriettiva.
Quiz di sezione — Biiettività
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Composizione di funzioni
Applicare due funzioni in sequenza: l’uscita della prima diventa l’ingresso della seconda. L’ordine è importante.
Definizione di funzione composta
Date $f:A\to B$ e $g:B\to C$, la funzione composta $g\circ f$ («$g$ dopo $f$») è la funzione da $A$ a $C$ definita da:
Si applica prima $f$, poi si dà il risultato in pasto a $g$. Si legge da destra verso sinistra.
Condizione di esistenza
Perché $g\circ f$ abbia senso, le immagini prodotte da $f$ devono poter essere «accettate» da $g$: serve che $\operatorname{Im}(f)$ sia contenuta nel dominio di $g$.
L’ordine conta: $g\circ f \neq f\circ g$
In generale la composizione non è commutativa. Con $f(x)=x+1$ e $g(x)=x^2$:
Due funzioni diverse: ad esempio in $x=2$ danno $9$ e $5$.
La funzione identità
La funzione identità $\operatorname{id}(x)=x$ è l’elemento neutro della composizione: $f\circ \operatorname{id}=\operatorname{id}\circ f=f$. Giocherà un ruolo centrale nella definizione di funzione inversa.
Esempio svolto
Siano $f(x)=2x+1$ e $g(x)=x^2$. Calcoliamo $(g\circ f)(3)$ e $(f\circ g)(3)$.
- $(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(7)=49$.
- $(f\circ g)(3)=f(g(3))=f(9)=19$.
La macchina composta
Scegli $f$ e $g$ e muovi l’ingresso $x$: segui il valore mentre attraversa le due «macchine». Confronta $g\circ f$ con $f\circ g$ per vedere che l’ordine conta.
Prova tu — Calcola la composta
Scegli la risposta corretta. Ricevi subito correzione e spiegazione.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · $f(x)=x+2,\ g(x)=3x$: trova $g\circ f$ e $f\circ g$
- $(g\circ f)(x)=g(x+2)=3(x+2)=3x+6$.
- $(f\circ g)(x)=f(3x)=3x+2$.
Esercizio 2 · Dominio di $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-1}$ con $f(x)=x-1,\ g(x)=\sqrt{x}$
- $g$ richiede argomento $\ge 0$: serve $f(x)\ge 0$, cioè $x-1\ge 0$.
- Quindi $x\ge 1$.
Quiz di sezione — Composizione
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Funzione inversa
«Tornare indietro»: la funzione che annulla l’effetto di $f$. Esiste solo se $f$ è biiettiva, e il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta $y=x$.
Definizione di funzione inversa
Se $f:A\to B$ è biiettiva, la sua funzione inversa $f^{-1}:B\to A$ associa a ogni $y\in B$ l’unico $x\in A$ tale che $f(x)=y$:
Inversa e funzione si «annullano» a vicenda:
Quando esiste? La condizione di invertibilità
$f$ è invertibile se e solo se è biiettiva:
- l’iniettività assicura che a ogni $y$ corrisponda un solo $x$ (inversa ben definita);
- la suriettività assicura che $f^{-1}$ sia definita su tutto $B$.
Se $f$ non è biiettiva, la si può spesso invertire restringendo dominio e codominio (ad esempio $\sqrt{\ }$ è l’inversa di $x^2$ ristretta a $[0,+\infty)$).
Il grafico: simmetria rispetto a $y=x$
I grafici di $f$ e di $f^{-1}$ sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y=x$: se $(a,b)$ appartiene al grafico di $f$, allora $(b,a)$ appartiene a quello di $f^{-1}$. Riflettere il grafico scambia il ruolo degli assi (ascisse ↔ ordinate).
Come si calcola l’espressione di $f^{-1}$
- Scrivi $y=f(x)$.
- Risolvi rispetto a $x$, ottenendo $x$ in funzione di $y$.
- Scambia i nomi delle variabili ($x\leftrightarrow y$) per riscrivere l’inversa come $y=f^{-1}(x)$.
Esempio svolto
Trova l’inversa di $f(x)=x^3$.
- $f$ è biiettiva su $\mathbb{R}$ (strettamente crescente e suriettiva), quindi invertibile.
- $y=x^3\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{y}$.
- Scambio le variabili: $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$.
- Verifica: $f^{-1}(f(2))=\sqrt[3]{8}=2$. ✓
Riflessione rispetto a y = x
Il grafico arancione è l’inversa, ottenuta riflettendo $f$ (blu) rispetto alla bisettrice. Muovi $x$: il punto $(x,f(x))$ e il suo riflesso $(f(x),x)$ si muovono insieme.
Prova tu — Funzione inversa
Riconosci l’inversa corretta o valuta l’inversa in un punto.
Esercizi guidati
Esercizio 1 · Inversa di $f(x)=\dfrac{x-4}{3}$
- $y=\dfrac{x-4}{3}$.
- Risolvo: $3y=x-4\Rightarrow x=3y+4$.
- Scambio le variabili: $f^{-1}(x)=3x+4$.
Esercizio 2 · Perché $f(x)=x^2$ su $\mathbb{R}$ non è invertibile?
- Non è iniettiva: $f(-3)=f(3)=9$, quindi «tornando indietro» da $9$ non si sa se scegliere $-3$ o $3$.
- Serve restringere il dominio, ad es. a $[0,+\infty)$: allora l’inversa è $\sqrt{x}$.
Quiz di sezione — Funzione inversa
10 domande, una alla volta, con correzione immediata.
Quiz riepilogativo
20 domande che attraversano tutti gli argomenti: definizione di funzione, iniettività, suriettività, biiettività, composizione e funzione inversa. Una domanda alla volta, con correzione e spiegazione immediate.